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\begin{document}

\begin{titlepage}
\title{\bf {Nd:YAG - Laser}}
\author{
        Golubkov Andrej\\
        Meierhofer Georg
    }

\date{\vspace{3cm}
Betreuer: Dr. Carlo Calligari\\
Datum: 28.03.03}

\maketitle
\thispagestyle{empty}
\end{titlepage}


\tableofcontents

\newpage

\section{Grundlagen}

\subsection{Allgemeines über Laserlicht}
LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) 
senden im Gegensatz zu den "normalen" Lichtquellen kohärentes Licht 
aus. Bei einem idealen Single- Mode Laser haben die abgestrahlten  
Photonen die gleiche Intensität, Richtung, Frequenz, Polarisation 
und Phase. Derzeit sind Laser für UV bis IR Licht, und Leistungen im 
mW bereich bis zu MW verfügbar. Das Laserlicht kann also sehr 
intensiv sein, und lässt sich wegen seiner Kohärentz sehr gut 
kontrollieren.

\subsection{Laser Aufbau}
\begin{figure}[hp]
    \begin{center}
    \includegraphics[width=11cm]{NdYAG_Aufbau1.tif}
    \end{center}
    \caption{\label{aufbau} Aufbau des Nd:YAG Lasers: A - Leuchtdiodenlaser als Pumpquelle gleichzeitig auch linker Spiegel 
    B/C - Linsen zum bündeln des Pumplichts, D - Nd:YAG Kristall, H - Frequenzverdoppel- Kristall, E - Auskoppelspiegel
    F - Farbfilter, G - Detektor}
\end{figure}

Der Leuchtdiodenlaser liefertbei ca. 800nm die Energie, um die Nd 
Atome im Nd:YAG Kristall anzuregen. Durch spontane Emission 
entstehen dort vereinzelt Photonen bei ca. 1000nm. Sie werden im 
Resonator zwischen den zwei Spiegeln reflektiert. Trifft ein durch 
spontane Emission erzeugtes Photon dann wieder auf ein angeregtes Nd 
Atom, kann ein zweites kohärentes Photon entstehen. Bei gut 
justierten Spiegeln können so die Photonen hin und herlaufen und 
sich im Kristall verstärken. Durch den rechten teildurchlässigen 
Spiegel kann ein Teil des Lichts im Resonator ausgekoppelt werden. 
Die Lichtintensität ist im Resonator um ein vielfaches stärker, als 
die des ausgekoppelten Lichts.

\subsection{Nd:YAG Laser}
Als aktives Medium wird Neodymium (Nd) dotierter YAG Kristall 
(Yttrium Aluminum Granat  $Y_3Al_5O_{12}$) verwendet. Wie die 
meisten Festkörperlaser wird er optisch gepumpt. Dieser Laser 
strahlt am Stärksten im nahen Infrarotbereich bei 1064nm. Leistungen 
bis 4 kW sind in Serienlasern erreichbar. Es ist sowohl ein CW 
(Continous Wave, d.h. kontinuierlicher), wie auch ein gepulster 
Betrieb möglich.

\subsection{Vierniveausystem des Nd:YAG Lasers}
\begin{figure}[hp]
    \begin{center}
    \includegraphics[width=11cm]{NdYAG_VierniveausystNd.tif}
    \end{center}
    \caption{\label{vierniveausystem} Model der für Laserbetrieb wichtigen Energieniveaus}
\end{figure}
Es gibt 4 für den Laserbetrieb wichtige Nd- Energieniveaus: 
\begin{itemize}
\item 1:Grundniveau
\item 4:Oberes Niveau
\item 2:Oberes Zwieschenniveau
\item 3:Unteres Zwieschenniveau
\end{itemize}

Die wichtigsten Prozesse sind folgende:

\subsubsection{Absorption}
Durch optisches Pumpen werden die Nd Atome aus dem Grundniveau 1 in 
das Niveau 4 gehoben. Dabei absorbieren sie die einfallende 
Strahlung der Pumpquelle (in unserem Fall eine Laserdiode). Die 
Absorption erfolgt bei diskreten Frequenzen, die der 
Energiedifferenz des Übergangs entsprechen. $\nu \hbar = E_4-E_1$ 

\subsubsection{Relaxation1}
Aus dem Niveau 4 Relaxieren die Nd Atome sehr schnell zum Niveau 3. 
Der Übergang erfolgt strahlunglos, durch Stösse oder Änderung der 
Schwingungsmoden. Das bedeutet, $N_4$ dass die Zahl der Nd Atome im 
Niveau 4 als 0 angenommen werden kann.

Pumprate (Absorption + Relaxation1):

\begin{equation}
    \frac{dN_3}{dt}=\eta \cdot W_{14} \cdot N_1 = W_P \cdot N_1
\end{equation}
\begin{tabular}{ll}   
$N_3$     &   ...Anzahl der Nd Atome im Niveau 3  \\
$\eta$    &   ...Pumpwirkungsgrad   \\
$W_{14}$   &  ...Energie, um von Niveau 1 nach 4 zu kommen \\
$W_P$       & ...Pumpenergie\\
\end{tabular}

\subsubsection{Spontane Emission}
Durch Abstrahlung von Photonen können die Nd Atome vom Niveau 3 in 
das Niveau 2 kommen. Spontane Rate:

\begin{equation}
    \frac{dN_3}{dt}=-\Gamma \cdot N_3
\end{equation}
mit
\begin{equation}
    \Gamma = \frac{1}{\tau_s}
\end{equation}


\begin{tabular}{ll}   
$\tau_s $     &   ...Mittlere Lebnsdauer des Nd Atoms im Niveau 3, bevor es spontan ein Photon emmitiert   \\
\end{tabular}


\subsubsection{Induzierte Emission}
Erst durch die induzierte Emission kann das für den Laser typische 
kohärente Licht entstehen. Dabei kollidiert ein Photon mit einem Nd 
Atom im Niveau 3. Das Atom emmitiert dann ein zum ersten identisches 
Photon, das die gleiche Richtung, Polarität, Energie und Phase hat. 
Es gibt dann also 2 "identische" Photonen. Diese können weitere Nd 
Atome zur induzierten Emision anregen. Das Atom fällt nach der 
Energieabgabe auf Niveau 2. Es besteht auch die Möglichkeit für den 
umgekehrten Prozess; das Photon kann von einem Atom im Niveau 2 
absorbiert werden. Es steigt dann zurück ins Niveau 3.  Die 
induzierte Rate hängt also von der Photonendichte p, und denn 
Besetzungszalhen $N_2$ und $N_3$ ab.  

\begin{equation}
    \frac{dN_3}{dt}=\sigma \cdot c \cdot p \cdot (N_2-N_3)
\end{equation}
\begin{tabular}{ll}   
$\sigma$     &   ...Wirkungsquerschnitt\\
$p$         &   ...Photonendichte\\
\end{tabular}

\subsubsection{Relaxation 2}
Der Übergang von 2 nach 3 erfolgt ähnlich, wie der Übergang von 4 
nach 3 sehr schnell und strahlungslos. Es wird angenommen: $N_2 = 
0$. Dadurch wird auch verhindert, dass Photonen durch Atome im 
Niveau 2 absorbiert werden.

\subsubsection{Ratengleichungen}
Mit sehr kleinen $N_2$ und $N_4$ sowie mit konstanter $N_0$
\begin{equation}
    N_0=N_1+N_3
\end{equation}
ergibt sich
\begin{equation}
    \frac{dn}{dt}=-\sigma c p n - \Gamma n + W_p \cdot(N_0 - n)
    \label{ratengl1}
\end{equation}
\begin{tabular}{ll}   
    $N_0$     &   ...Gesamtanzahl der beteiligten Nd Atome\\
    $n$         &   ... Besetzungsinversion $N_3-N_2$\\
    \vspace{1cm}
\end{tabular}


Die Photonendichte p ist nicht konstant, wegen der Emissions und 
Absorptionsprozessen in 2 - 3 Niveaus:
\begin{equation}
    \frac{dp}{dt} = -\sigma c p (N_2 - N_3) = \sigma c p n
\end{equation}

Durch Verluste im Resonator:
\begin{equation}
    \frac{dp}{dt} = -\frac{p}{\tau_{ph}}
\end{equation}
insgesammt:
\begin{equation}
    \frac{dp}{dt} = p(\sigma c n -\frac{1}{\tau_{ph}})
    \label{ratengl2}
\end{equation}

Für stationären cw Betrieb sind die Besetzungszahlen zeitlich 
konstant. Für die Ratengleichungen (\ref{ratengl1}) und 
(\ref{ratengl2}) gibt es dann eine einfache Lösung:

\begin{eqnarray}
    n=\frac{N_0 W_p}{c \sigma p + W_p + \Gamma}\\
    p= W_p(\tau_{ph} N_0 - \frac{N_0}{c \sigma}) - \frac{\Gamma}{c \sigma} \label{p}
\end{eqnarray}
Man sieht, dass die Inversion n auch ohne einen Photonenfeld p 
vorhanden ist, also auch wenn der Laser noch keine kohärente 
Strahlung liefert. Aus (\ref{p}) sieht man, dass die ausgekoppelte 
Strahlung (proportional zu $p$) erst ab einer Mindestpumpleistung 
$P_{th}$ grösser 0 ist. Die Größen $p$ und $W_p$ sind der direkten 
Messung nicht zugänglich, deshalb verwendet man die Gleichungen:

\begin{equation}
    P_a=\alpha_S (P_P-P_{th})
\end{equation}
mit dem sogenannten differentiellen Wirkungsgrad
\begin{equation}
    \alpha_S = \nu \frac{E_{32}}{E_{41}} \cdot \frac{T}{T+L}
\end{equation}
\begin{tabular}{ll}   
    $P_a$     &   ...Leistung des ausgekoppelten Lichts\\
    $P_P$         &   ... Pumpleistung\\
    $P_{th}$         &   ... Schwellpumpleistung\\
    $T$         &   ... Transmission des Auskoppelspiegels\\
    $L$         &   ... Verluste des Resonators\\

    \vspace{1cm}
\end{tabular}


\subsection{Betriebsarten}

\subsubsection{Dauerstrich (Continuous Wave, cw)}
Die Inversion n und die Ausgansleistung $P_a$ sind in dieser 
Betriebsart zeitlich konstant. In userem Experiment wurde nur  diese 
Betriebsart benutzt.

\subsubsection{Gepulst (Q- switch)}
Gepulste Laser werden mit Blitzlampen optisch gepumpt. Durch 
Einschwingvorgänge der Inversion n und der Photonendichte p nach dem 
Einschalten des Pumplichts etstehen sehr hohe Leistungsspitzen. Beim 
Q- switching wird eine kontinuirlich eingeschaltete Lichquelle zum 
Pumpen verwendet. Es wird aber der Resonatorkreis blockiert, bis 
sich die Inversion voll aufgebaut hat. Das kann z.B. durch eine 
Pockelszelle im Resonatorkreis erreicht werden. Dann wird er 
freigegeben, und die Inversion wird mit einem kurzerm starkerm 
Lichtimpuls abgebaut. Der ganze Vorgang kann dann sofort wiederholt 
werden. Mit Blitzlampen kann man die höchsten Leistungsspitzen 
erreichen, der Wirkungsgrad ist aber sehr gering.
  
\subsubsection{Quasi-CW}
Quasi-CW Laser sind gepulste Laser mit einer sehr hohen Pulsrate pro 
Sekunde. Das können durchaus 10kHz - 100kHz sein. Während die 
Spitzenleistung pro Puls den cw Betrieb um Grösenordunungen 
übersteigen kann, ist die zeitlich gemittelte Leistung geringer, als 
die von cw.

\subsection{Resonator}
Der Laserresonator besteht aus zwei Spiegeln, zwieschen denen das 
Laserlicht hin und her reflektiert wird. Es kommt dabei darauf an, 
dass möglichst viel Kristallvolumen durch das kohärente Licht 
ausgeleuchtet wird. Übliche Resonatortypen:
\begin{itemize}
\item {\bf Planparalleler Resonator:} Beide Spiegel sind eben und Planparallel. 
Dieser Typ wäre ideal, ist aber sehr schwierig zu justieren.
\item {\bf Hemisphärischer Resonator:} Ein spiegel ist eben, der andere sphärisch.
Dieser Typ wird am häufigsten verwendet. Er ist unkritisch in der 
Justage.
\item {\bf Sphärischer Resonator:} Beide Spiegel sind sphärisch geschliefen. 
Er ist am einfachsten einstellbar, es können sich aber leicht 
mehrere Moden ausbilden. 
\end{itemize}

\subsection{Resonatormoden}
Das kohärente Licht im Resonator kann nur als stehende Welle mit 
einem Minimum an den Spiegelwänden existieren. Da der Spiegelabstand 
L fix ist, hängt das nur von der Wellenlänge $\lambda$ des Lichts 
ab. Im Resonator könnten theoretisch mehrere Moden mit verschiedenen 
$\lambda$ existieren, solange $L = n \cdot \lambda/2$ erfüllt ist. 
Es können aber nur jene $\nu = c/ \lambda$ verstärkt werden, die dem 
Nd Übergang von Niveau 3 auf 2 entsprechen. Bei $\lambda = 1064nm$ 
bzw. $\nu = 2.85 \cdot 10^5 GHz$ ist dieser Bereich $90 GHz$ breit. 
Aus den Ratengleichungen geht aber hervor, dass auch von diesen 
Moden nur jene mit der grössten emmisionswahrscheinlichkeit 
anschwingt.



Neben den Longitudianl Moden gibt es auch Transversal Moden (TEM). 
Sie entstehen durch interferrenzeffekte und äußern sich als 
Intensitätsverteilung senkrecht zur Strahlungsrichtung. 


TEM_00 power ist gröser wenn der Spiegelradius gröser ist. Weil dann 
die Fläche dafür gröser ist. TEM00 ist zum fokkusieren am besten 
geeignet. Seine Intensität ist gaußverteilt.  TEM höherer Ordnung 
kann man durch Blenden rausfiltern.



\end{itemize}
























\end{document}
