Pockelseffekt

Andrej Golubkov Georg Meierhofer

Betreuer: Binder Christopher, Dr. Datum: 10.05.2004

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 2 1.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Polarisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 \frac{λ}{4}-Plättchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Elektrooptischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.1 Pockelseffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Versuchsdurchführung 6

2.1 Justierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 Polarisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Bestimmung der Induzierten Hauptachse . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3 Pockelszelle Feinjustieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.4 Letzte Einstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Phasenverschiebung abhängig von der Spannung . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Intensität abhängig vom Analysatorwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Kompensationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Grundlagen

1.1 Polarisation

Die elektrischen Feldvektoren von Licht sind im allgemeinen Fall irgendwie im Raum ausgerichtet. Mit Polarisatoren kann eine ganz bestimmte Schwingungsrichtung ausgewählt werden, es werden sozusagen nur die Projektionen des Vektors auf die gewählte Ebene transmittiert. Dieses Licht nennt man linear polarisiert. Durch Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen gleicher Kreisfrequenz ω entsteht eine elliptische Polarisation, deren Amplitude sich aus der Vektoraddition der linearen Amplituden ergibt.

E_{x} = E_{0x} · cos (kz − ωt)
E_{y} = E_{0y} · cos (kz − ωt + Δφ)

E_{i} ... Betrag des elektrischen Feldvektors E_{0i} ... Betragsamplitude des elektrischen Feldvektors k ... Wellenzahl Δφ ... Phasenverschiebung

Abbildung 1: Umlauf des elektrischen Feldstärkevektors bei elliptisch polarisiertem Licht

Der Winkel α in Abb.1 ergibt sich aus der Phasenverschiebung über

tan 2α = \frac{2E_{0x}E_{0y} cos Δφ}{E_{0x}^{2} − E_{0y}^{2}}  (1)

Im für experimentelle Zwecke bedeutenden Spezialfall α = 45^{∘} gilt E_{0x}^{2} = E_{0y}^{2}, da der Tangens in Gl. 1 in diesem Fall ∞ ist. Die Halbachsen dieser Ellipse kann man über

\frac{b}{a} = tan \frac{Δφ}{2}  (2)

a ... große Halbachse b ... kleine Halbachse

berechnen. Für einen Phasenunterschied Δφ = \frac{π}{2} gilt a = b, man spricht von zirkular polarisiertem Licht.

1.2 Doppelbrechung

Unter Doppelbrechung versteht man die Eigenschaft einiger Materialien Licht verschiedener Schwingungsebenen richtungsabhängig zu brechen. Normalerweise breiten sich die Wellenflächen von einem Punkt kugelförmig aus, das gilt bei doppelbrechenden Medien jedoch nur für einen Teil des Lichts, den sog. ordentlichen Strahl. Der andere Teil breitet sich anisotrop (eine Richtung ist ausgezeichnet) aus, er wird außerordentlicher Strahl genannt. Die Wellenfläche des außerordentlichen Strahls ist ein Rotationsellipsoid, dessen eine Halbachse dem Radius der Kugel des ordentlichen Strahls entspricht. Die Richtung in der dies der Fall ist heißt optische Achse. Der Vektor des außerordentlichen Strahls schwingt in der Ebene, die durch die Einfallsrichtung und die optische Achse aufgespannt wird (Hauptschnitt), der ordentliche schwingt normal dazu. Geht das Licht nicht genau entlang der optischen Achse, wird es zu einer Aufspaltung der beiden Strahlen nach dem Fermatschen Prinzip (Licht durchläuft den Weg für den es die kürzeste Zeit braucht) kommen. Grundsätzlich kann man zwischen zwieschen Kristallen unterscheiden:

negativer Kristall:  c_{ao} ≥ c_{o}  , n_{ao} ≤ n_{o}
positiver Kristall:  c_{ao} ≤ c_{o}  , n_{ao} ≥ n_{o}

1.3 Polarisatoren

Die Doppelbrechende Eigenschaft kann auf verschiedene Arten zur polarisierung von Licht verwendet werden. Einige dieser Medien haben die Eigenschaft einen der Teilstrahlen stark zu absorbieren, sodaß nur einer der beiden transmittiert wird. Man kann auch künstliche Materialen dieser Eigenschaft herstellen, indem man erhitzte Kunststoffe dehnt und so die Kristalle ausrichtet. Beim Erkalten bleibt dieser Zustand bestehen, sie bleiben dauerhft doppelbrechend. Das Nicol´ sche Prisma nutzt aus, daß sich die Brechzahlen von ordentlichem aund außerordentlichem Strahl unterscheiden. Zwei geeignet geschnittene Kalkspatprismen werden mit Kanadabalsam verkittet. Für den ordentlichen Strahl ist der Kanadabalsam ein optisch dünneres Medium und er wird total reflektiert. So bleibt nur der außerordentliche Strahl übrig, der eine lineare Polarisation aufweist.

1.4 \frac{λ}{4}-Plättchen

In einem doppelbrechendem Medium unterscheiden sich die Brechzahlen für ordentlichen und außerordentlichen Strahl, so daß es neben der Aufspaltung in verschieden Richtungen auch zu einer Verschiebung der Phase kommt. Das \frac{λ}{4}-Plättchen wird so geschnitten, daß die Phasen um \frac{π}{2} ) verschoben werden, das entspricht einem Gangunterschied von \frac{λ}{4}. Je nachdem ob es sich um einen positiven oder negativen Kristall handelt, erfolgt die Verschiebung des außerordentlichen Strahls um \frac{λ}{4} nach vorne oder nach hinten. Elliptisch polarisiertes Licht kann man sich durch Überlagerung zweier orthogonaler Wellen gleicher Frequenz, aber beliebiger Amplitude und beliebigem Phasenunterschied vorstellen. Die Halbachsen stehen dabei jeweils im Winkel von 45^{∘} zum Hauptschnitt, was durch die diagonale Polarisatorstellung (s. Abb. 2) erreicht wird. Alternativ kann auch bei beliebiger Amplitude und konstanter Phasendifferenz Δϕ = \frac{π}{2} gearbeitet werden. Hierbei liegt eine der Halbachsen im Hauptschnitt. Fällt die optische Achse des \frac{λ}{4}-Plättchen mit einer Halbachse des elliptisch polarisierten Lichtes zusammen, so kann das Licht als durch ungleiche Amplitude und einer Phasendifferenz von Δϕ = \frac{π}{2} erzeugt interpretiert werden. Das Plättchen bewirkt nun einen weiteren Phasenverschub um \frac{π}{2} und erzeugt so wieder linear polarisiertes Licht. Die Polarisationsebene nimmt einen Winkel α mit der optischen Achse des Plättchens ein.

α = arctan(\frac{b}{a})  (3)

Aus Gleichnung 2 und 3 folgt:

α = \frac{Δφ}{2}  (4)

bzw.

Δφ = 2 · arctan(\frac{b}{a})  (5)

Das Ergebnis beinhaltet die beiden Spezialfälle Δϕ = 0 (linear polarisiertes Licht), hier tritt keine Verkippung auf und Δϕ = \frac{π}{2} (zirkular polarisiertes Licht) wo α = arctan(1) = \frac{π}{4} ist.

1.5 Elektrooptischer Effekt

Viele Medien zeigen in einem elektrischen Feld doppelbrechende Eigenschaften. Je nach Abhängigkeit des doppelbrechenden Verhaltens von der elektrischen Feldstärke unterscheidet man den linearen (Pockels-) und quadratischen (Kerr-) Effekt. Von Interesse ist hier nur der Pockelseffekt.

1.5.1 Pockelseffekt

Kristalle bei denen der Pockelseffekt auftritt haben auch ohne anliegen eines elektrischen Feldes doppelbrechende Eigenschaften. Durch das Feld wird eine zweite optische Achse induziert, die nicht in Richtung des Teldes liegt und das System extrem verkompliziert. Das läßt sich vermeiden, indem man eine der beiden Achsen (in der regel die permanente) parallel zur Einstrahlrichtung legt. Der Aufbau einer longitudinalen Pockelszelle ist in Abb. 2 dargestellt. Das elektrische Feld verläuft parallel zum Strahl, was eine durchsichtige Ausführung der Elektroden erfordert. Diese Art ist weit häufiger als der transversale Aufbau (änlich der Kerrzelle), da durch die geringe Kapazität viel kürzere Schaltzeiten möglich sind.

Abbildung 2: Aufbau einer Pockelszelle; E Elektroden, U Spannung, K Kristall (z.B.: KD*P), P Polarisator, A Analysator

Die Linearität der Pockelszelle sieht man an folgender Gleichung:

Δφ = \frac{2π}{λ_{0}} · n_{0}^{3} · r_{63} · U  (6)

Δφ ... Phasenverschiebung der Teilstrahlen λ_{0} ... Vakuumwellenlänge des Lichtes r_{63} ... von λ_{0} und dem Material abhängige elektrooptische Konstante n_{o} ... Brechungsindex des ordentlichen Strahles U ... angelegte äußere Spannung

Durch Einführen der Spannung U (E = \frac{U}{l}) fällt die Länge des Lichtweges heraus. Es läßt sich für jede Zelle eine Spannung angeben, bei der eine Phasenverschiebung um \frac{π}{2} auftritt. Diese Spannung ist die sog. Viertelwellenspannung.

2 Versuchsdurchführung

Die Aufgabe war, die Elektrooptische Konstante r_{63} der Pockelszelle mit verschiedenen Methoden zu messen.

Abbildung 3: Messanordnung. L1 Sammellinse f=10cm, LB Lochblende, L2 Sammellinse f=9cm, P1 Polarisator, F Farbfilter, PZ Pockelszelle, λ/4 - Plätchen, P2 Analysator, L3 Sammellinse f=12cm

2.1 Justierung

2.1.1 Polarisatoren

Der Lichtstrahl der Hg- Hochdrucklampe wurde ungefähr parallel durch den Polarisator und den Analysator geführt und auf einen Schirm fokusiert. Dann wird der Analysator solange verdreht, bis ein Intensitäts- Minimum gefunden ist. Gekreuzte Stellung war gefunden bei:

β_{P L1} = 325^{∘} ... Polarisatorwinkel β_{P L2} = 230.5^{∘} ... Analysatorwinkel

2.1.2 Bestimmung der Induzierten Hauptachse

Die Pockelszelle wird mit einem leicht divergentem Licht durchstrahlt. Am Projektionsschirm enstehen dan konzentrische dunkle Interferrenz- Kreise, da die Lichtstrahlen den Kristall unter verschiedenen Winkeln durchqueren und daher einen Gangunterschied aufweisen. Da der Polarisator und Analysator nach wie vor senkrecht aufeinander stehen, sollte eigentlich überhaupt nichts zu sehen sein, aber der Kristall hat auch einen pemanente Optische Hauptachse. Sie ist ungefähr parallel zum Lichtstrahl ausgerichtet. Dennoch kann sie das linear polarisierte Licht aufspalten, da es ja divergent einfällt, so dass es den Analysator passieren kann, und am Schirm inteferriert. Das Schwarze Kreuz, das ebenfalls am Schirm zu sehen ist, ensteht wenn das Licht in einem solchen Winkel auf die permanennte Optische Hauptachse fällt, dass nur ein ordentlicher oder außerordentlicher Lichtstrahl ensteht. Dieser kann mit sich selber nicht interferrieren. Die induzierte optische Hauptachse steht ungefähr senkrecht zum Lichtstrahl. Wenn der Vektor E des linear polarisierte Lichts parallel oder senkrecht dazu einfällt sollte sich das Interferrenzbild beim Anlegen einer Spannung an der Pockelszelle nicht ändern. Um sie zu finden wird der Analysator und der Polarisator synchron um einen kleinen Winkel weitergedreht und die Spannung ein- und ausgeschalten. Die optische Hauptachse wurde gefunden bei:

β_{P L1} = 53^{∘} ... Polarisatorwinkel β_{P L2} = 318.5^{∘} ... Analysatorwinkel

2.1.3 Pockelszelle Feinjustieren

Das in die Pockelszelle einfallende Licht wird mit der Methode der Autokollimation parallel eingestellt. Dann wird die Linse L1 und die Lochblende so eingerichtet, das am Schirm ein kleines weisses Kreuz in der Mitte des grossen schwarzen Kreuzes zu sehen ist. Die permanente optische Hauptachse ist dann genau parallel zum Lichtstrahl und beeinflusst die folgenden Messungen nicht mehr.

2.1.4 Letzte Einstellungen

Zum Schluss wird hinter die Pockelszelle eine Irisblende gestellt, um störende Kristallrefleksionen abzublocken. Der Polarisator wird um 45^{∘} weitergedreht, so das der Lichtvektor E unter 45^{∘} auf die induzierte optische Hauptachse trifft, der ordentliche und der außerordentliche Lichtstrahl sind dann immer gleich intensiv.

2.2 Phasenverschiebung abhängig von der Spannung

Die Lichtintänsität wird hinter dem Analysator mit einer Photodiode gemessen. Abhängig von der Spannung ändert sich Δφ und somit auch die gemessene Intensität. Die Messung wurde mit parallel und gekreuzt stehenden Analysator, mit den Farbfiltern für grünes und blaues Licht durchgeführt.

Abbildung 4: Intensität bei grünem Filter Pockelszelle 8

Abbildung 5: Intensität bei blauem Filter

Tabelle 2.2: Intensität abhängig vom Filter und Analysatorstellung

U / [V]  ... an der Pockelszelle angelegte Spannung
I_{grünekreuzt} ... Intensität bei grünem Filter, Analysator gekreuzt zum Polariastor
I_{grünparallel} ... Intensität bei grünem Filter, Analysator parallel zum Polariastor
I_{blauekreuzt} ... Intensität bei blauem Filter, Analysator gekreuzt zum Polariastor
I_{blauparallel} ... Intensität bei blauem Filter, Analysator parallel zum Polariastor

\begin{matrix}U / [V] & I_{grüngekreuzt} & I_{grünparallel} & I_{blaugekreuzt} & I_{blauparallel} \\ 0 & — & 1570 & 4 & 179 \\ 600 & 131 & 1472 & 16 & 165 \\ 800 & 202 & 1396 & 29 & 153 \\ 1000 & 293 & 1303 & 42 & 136 \\ 1200 & 393 & 1200 & 62 & 119 \\ 1400 & 516 & 1077 & 80 & 100 \\ 1600 & 639 & 951 & 97 & 80 \\ 1800 & 762 & 820 & 117 & 62 \\ 2000 & 890 & 689 & 134 & 44 \\ 2200 & 1019 & 560 & 147 & 30 \\ 2400 & 1135 & 438 & 158 & 16 \\ 2600 & 1250 & 334 & 167 & 10 \\ 2800 & 1340 & 246 & 170 & 6 \\ 3000 & 1420 & 157 & 170 & 8 \\ 3200 & 1480 & 102 & 165 & 13 \\ 3400 & 1520 & 66 & 158 & 22 \\ 3600 & 1519 & 53 & 147 & 36 \\ 3800 & 1508 & 67 & 130 & 54 \\ 4000 & 1480 & 102 & 115 & 71 \end{matrix}

Die Intensitäten lassen sich mit der Fuktion

I = a_{1} + a_{4} sin(a_{2} U + a_{3})  (7)

fitten. Wobei

Δφ = a_{2} U  (8)

Durch einsetzen in (6)

r_{63} = \frac{a_{2} λ_{0}}{2πn_{0}^{3}}  (9)

Tabelle 2.2: Ergebnisse

a_{2} ... Fitparameter
λ_{0} ... Wellenlänge das Farbfilters
r_{63} ... Elektrooptische Konstante
Messung  a_{2}/[V^{−1}]  λ_{0} /[nm]  r_{63}/[m/V]
grüner Filter, gekreuzt 8.85 10^{−3} ± 1.5 10^{−6}  545  2.18 ± 0.05 10^{−11}
grüner Filter, parallel 8.74 10^{−3} ± 1.6 10^{−6}  545  2.16 ± 0.05 10^{−11}
blauer Filter, gekreuzt 1.11 10^{−4} ± 6 10^{−6}  439  2.22 ± 0.06 10^{−11}
blauer Filter, parallel  1.14 10^{−4} ± 6 10^{−6}  439  2.27 ± 0.06 10^{−11}

2.3 Intensität abhängig vom Analysatorwinkel

Bei dieser Messung wird grünes Licht verwendet. Der Analysator wird in 15^{∘}- Schritten weitergedreht und die Intensität wird mit der Photodiode gemessen. Bei U = 1840V ist das Licht zirkular polarisiert: beim ersten Versuch war dort die Intensität in parallel- und gekreuzter Stellung gleich gross. Bei U = 3550V ist das Licht linear polarisiert, bei U = 1000V elliptisch.

Tabelle 2.4: Intensität abhängig vom Analysatorwinkel

β_{P L2}  ... Winkel des Analysators
I_{zirkular} ... Intensität bei U = 1840V
I_{linear} ... Intensität bei U = 3550V
I_{ellipse} ... Intensität bei U = 1000V

\begin{matrix}β_{P L2} & I_{zirkular} & I_{linear} & I_{ellipse} \\ 0 & 802 & 1525 & 302 \\ 15 & 800 & 1495 & 327 \\ 30 & 793 & 1279 & 477 \\ 45 & 785 & 930 & 713 \\ 60 & 782 & 545 & 983 \\ 75 & 782 & 237 & 1197 \\ 90 & 787 & 67 & 1306 \\ 93 & — & 54 & — \\ 105 & 799 & 97 & 1287 \\ 120 & 813 & 326 & 1140 \\ 135 & 823 & 683 & 898 \\ 150 & 828 & 1070 & 636 \\ 165 & 830 & 1390 & 424 \\ 180 & 828 & 1554 & 312 \\ 195 & 820 & 1524 & 335 \\ 210 & 805 & 1297 & 490 \\ 225 & 795 & 940 & 730 \\ 240 & 786 & 555 & 984 \\ 255 & 781 & 230 & 1198 \\ 270 & 785 & 64 & 1302 \\ 285 & 791 & 96 & 1271 \\ 300 & 800 & 322 & 1116 \\ 315 & 804 & 665 & 870 \\ 330 & 811 & 1050 & 615 \\ 345 & 811 & 1360 & 405 \\ 360 & 805 & 1522 & 300 \end{matrix}

Nach der Gleichung (4) und (6) ergibt sich:

r_{63} = \frac{λ_{0} atan(\frac{a}{b})}{πn_{0}^{3} · U}  (10)

Wobei b und a die Haupt- und Nebenachse der Ellipse des Polarisierten Lichtes sind. Diese lassen sich aus dem Polarplot (Abbildung 6) auslesen:

b = \sqrt{I_{maximal}}  (11)

Abbildung 6: Intensität in Polarkoordinaten

a = \sqrt{I_{minimal}}  (12)
I_{maximal} = 1306 ± 5  (13)
I_{minimal} = 300 ± 5  (14)
b = 36.14 ± 0.07  (15)
a = 17.32 ± 0.14  (16)

r_{63} = 2.21 ± 0.16˙10^{−11}V/m(17)

2.4 Kompensationsmethode

Versuchsaufbau: hier wird ein λ/4 - Plättchen von den Analysator gestellt. Die Photodiode wird nicht verwendet. Polarisator und Analysator sind in gekreuzter Stellung. λ/4 - Plättchen wird solange gedreht, bis der Schirm dunkel ist und dann fixiert. Dann wird bei verschiedenen Spannungen der Analysator so weitergedreht, bis wieder ein Intensitätsminimum erreicht ist. Der Analysator- Winkel wird dann notiert. Es wurde ein Versuch mit grünem und blauem Farbfilter durchgeführt.

Abbildung 7: Zur Erklärung der Kompensationsmethode

Tabelle ??: Kompensationsmethode

U/[V] ... Spannung an Pockelszelle
I_{zirkular} ... Intensität bei U = 1840V
I_{linear} ... Intensität bei U = 3550V
I_{ellipse} ... Intensität bei U = 1000V

\begin{matrix}U/[V] & β_{P L2grün} & β_{P L2blau} \\ 0 & 3.5 & 3.5 \\ 600 & — & 22 \\ 800 & 23 & 26 \\ 1000 & 29 & 33 \\ 1200 & 34 & 43 \\ 1400 & 40 & 52 \\ 1600 & 44 & 60 \\ 1800 & 48 & 67 \\ 2000 & 53.5 & 72 \\ 2200 & 60 & 80 \\ 2400 & 64 & 86 \\ 2600 & 68 & 88 \\ 2800 & 74 & 95 \\ 3000 & 80 & 98 \\ 3200 & 86 & 109 \\ 3400 & 90 & 115 \\ 3600 & 96 & 122 \\ 3800 & 102 & 124 \\ 4000 & 104 & 131 \end{matrix}

Die Punkte wurden mit der Funktion

β_{P L2}(U) = b_{1} + U · b_{2}  (18)

gefittet. b_{1} stellt einen Offset dar. Es sind nur die relativen Winkel interresant, sie ergeben sich aus b_{2}. Aus Gleichung (4) und (6) ergibt sich dann:

r_{63} = \frac{b_{2}λ̇_{0}}{2π · n_{0}^{3}}  (19)

Ergebnisse:

Messung  b_{2}  λ_{0} /[nm]  r_{63}/[m/V]
grüner Filter 4.46 · 10^{−4}  545  2.21 ± 0.02 10^{−11}
blauer Filter 5.64 · 10^{−4}  439  2.25 ± 0.02 10^{−11}

2.5 Fehlerrechnung

Farbfilter: Eswurden Farbfilter mit 545nm und 439nm verwendet Δλ_{0} = 1nm. Intensitätsmessung: ΔI = 1 Voltmeter: ΔU = 1OrdentlicherBrechungsindexn_{0}: n_{0} = 1.52 ± 0.01

Zur Gleichung (9)

Δr_{63} = \frac{λ_{0}}{2π · n_{0}^{3}} · Δb_{2} + \frac{a_{2}}{2π · n_{0}^{3}} · Δλ_{0} + \frac{3λ_{0} · a_{2}}{2π · n_{0}^{4}} · Δn_{0}  (20)

Zur Gleichung (10)

Δr_{63} = \frac{atan(\frac{b}{a})}{2πn_{0}^{3} · U} ·Δλ_{0}+\frac{3λ_{0} atan(\frac{b}{a})}{2πn_{0}^{4} · U}·Δn_{0}+\frac{λ_{0} atan(\frac{b}{a})}{2πn_{0}^{3} · U^{2}}·ΔU+\frac{a · λ_{0}}{(a^{2} + b^{2}) · U · n_{0}^{3}} ·Δb+\frac{b · λ_{0}}{(a^{2} + b^{2}) · U · n_{0}^{3}} ·Δa

(21)

Zur Gleichung (17)

Δr_{63} = \frac{λ_{0}}{2π · n_{0}^{3}} · Δb_{2} + \frac{b_{2}}{2π · n_{0}^{3}} · Δλ_{0} + \frac{3λ_{0} · b_{2}}{2π · n_{0}^{4}} · Δn_{0}  (22)

Mögliche systematische Fehlerquellen: Unregelmäsigkeit der Lichtintensität der Hg-Hochdrucklampe, Streulicht an der Fotodiode, nicht prefekte Polarisator- Filter

3 Zusammenfassung

Pockelszelle 14 Abbildung 8: Analysatorstellung für Intensitätsminimum abhängig von der Spannung