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\begin{document}

\begin{titlepage}
\title{\bf {Pockelseffekt}}
\author{
        Andrej Golubkov\\
        Georg Meierhofer
    }
\vspace{3cm}
\date{Betreuer: Binder Christopher, Dr.\\
Datum: 10.05.2004} \maketitle
\end{titlepage}

\newpage
\tableofcontents

\newpage


\section{Grundlagen}

\subsection{Polarisation}

Die elektrischen Feldvektoren von Licht sind im allgemeinen Fall
irgendwie im Raum ausgerichtet. Mit Polarisatoren kann eine ganz
bestimmte Schwingungsrichtung ausgewählt werden, es werden
sozusagen nur die Projektionen des Vektors auf die gewählte Ebene
transmittiert. Dieses Licht nennt man linear polarisiert.\\
Durch Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen gleicher
Kreisfrequenz $\omega$ entsteht eine elliptische Polarisation,
deren Amplitude sich aus der Vektoraddition der linearen
Amplituden ergibt.



\begin{center}
$E_x = E_{0x} \cdot \cos{(kz - \omega t)}$ \\
$E_y = E_{0y} \cdot \cos{(kz - \omega t + \Delta \varphi)}$ \\
\end{center}
\begin{tabbing}
$E_i$ \qquad \qquad \= ... Betrag des elektrischen Feldvektors\\
$E_{0i}$ \> ... Betragsamplitude des elektrischen Feldvektors\\
k \> ... Wellenzahl\\
$\Delta \varphi$ \>... Phasenverschiebung\\
\end{tabbing}



\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=11cm]{polielli.ps}
\end{center}
\caption{\label{elli} Umlauf des elektrischen Feldstärkevektors bei
elliptisch polarisiertem Licht}
\end{figure}

Der Winkel $\alpha$ in Abb.\ref{elli} ergibt sich aus der
Phasenverschiebung über

\begin{equation} \label{tanalpha}
\tan{2\alpha} = \frac{2 E_{0x} E_{0y} \cos{\Delta \varphi
}}{E_{0x}^2 - E_{0y}^2}
\end{equation}

Im für experimentelle Zwecke bedeutenden Spezialfall $\alpha$ =
45° gilt $E_{0x}^2 = E_{0y}^2$, da der Tangens in Gl.
\ref{tanalpha} in diesem Fall $\infty$ ist. Die Halbachsen dieser
Ellipse kann man über

\begin{equation} \label{fracab}
\frac{b}{a} = \tan{\frac{\Delta \varphi}{2}}
\end{equation}
\begin{tabbing}
a \qquad \qquad \= ... große Halbachse\\
b \> ... kleine Halbachse\\
\end{tabbing}

berechnen. Für einen Phasenunterschied $\Delta \varphi$ =
$\frac{\pi}{2}$ gilt $a = b$, man spricht von zirkular polarisiertem
Licht.

\subsection{Doppelbrechung}

Unter Doppelbrechung versteht man die Eigenschaft einiger
Materialien Licht verschiedener Schwingungsebenen richtungsabhängig
zu brechen. Normalerweise breiten sich die Wellenflächen von einem
Punkt kugelförmig aus, das gilt bei doppelbrechenden Medien jedoch
nur für einen Teil des Lichts, den sog. ordentlichen Strahl. Der
andere Teil breitet sich anisotrop (eine Richtung ist ausgezeichnet)
aus, er wird außerordentlicher Strahl genannt. Die Wellenfläche des
außerordentlichen Strahls ist ein Rotationsellipsoid, dessen eine
Halbachse dem Radius der Kugel des ordentlichen Strahls entspricht.
Die Richtung in der dies der
Fall ist heißt optische Achse.\\
Der Vektor des außerordentlichen Strahls schwingt in der Ebene, die
durch die Einfallsrichtung und die optische Achse aufgespannt wird
(Hauptschnitt), der ordentliche schwingt normal dazu. Geht das Licht
nicht genau entlang der optischen Achse, wird es zu einer
Aufspaltung der beiden Strahlen nach dem Fermatschen Prinzip (Licht
durchläuft den Weg für den es die kürzeste Zeit braucht)
kommen.\\
Grundsätzlich kann man zwischen zwieschen Kristallen unterscheiden:

\begin{center}
negativer Kristall: \qquad    $c_{ao} \geq c_o$ \qquad,
$n_{ao} \leq n_o$ \\
positiver Kristall: \qquad    $c_{ao} \leq c_o$ \qquad,
$n_{ao} \geq n_o$ \\
\end{center}

\subsection{Polarisatoren}

Die Doppelbrechende Eigenschaft kann auf verschiedene Arten zur
polarisierung von Licht verwendet werden. Einige dieser Medien
haben die Eigenschaft einen der Teilstrahlen stark zu absorbieren,
sodaß nur einer der beiden transmittiert wird. Man kann auch
künstliche Materialen dieser Eigenschaft herstellen, indem man
erhitzte Kunststoffe dehnt und so die Kristalle ausrichtet. Beim
Erkalten bleibt dieser Zustand bestehen, sie bleiben dauerhft
doppelbrechend.\newline Das Nicol´sche Prisma nutzt aus, daß sich
die Brechzahlen von ordentlichem aund außerordentlichem Strahl
unterscheiden. Zwei geeignet geschnittene Kalkspatprismen werden
mit Kanadabalsam verkittet. Für den ordentlichen Strahl ist der
Kanadabalsam ein optisch dünneres Medium und er wird total
reflektiert. So bleibt nur der außerordentliche Strahl übrig, der
eine lineare Polarisation aufweist.

\subsection{$\frac{\lambda}{4}$-Plättchen}

In einem doppelbrechendem Medium unterscheiden sich die Brechzahlen
für ordentlichen und außerordentlichen Strahl, so daß es neben der
Aufspaltung in verschieden Richtungen auch zu einer Verschiebung der
Phase kommt. Das $\frac{\lambda}{4}$-Plättchen wird so geschnitten,
daß die Phasen um $\frac{\pi}{2}$) verschoben werden, das entspricht
einem Gangunterschied von $\frac{\lambda}{4}$. Je nachdem ob es sich
um einen positiven oder negativen Kristall handelt, erfolgt die
Verschiebung des außerordentlichen Strahls um $\frac{\lambda}{4}$
nach vorne oder nach hinten. \newline Elliptisch polarisiertes Licht
kann man sich durch Überlagerung zweier orthogonaler Wellen gleicher
Frequenz, aber beliebiger Amplitude und beliebigem Phasenunterschied
vorstellen. Die Halbachsen stehen dabei jeweils im Winkel von 45°
zum Hauptschnitt, was durch die diagonale Polarisatorstellung (s.
Abb. \ref{pzzelle}) erreicht wird. Alternativ kann auch bei
beliebiger Amplitude und konstanter Phasendifferenz $\Delta \phi =
\frac{\pi}{2}$ gearbeitet werden. Hierbei liegt eine der
Halbachsen im Hauptschnitt. \\
Fällt die optische Achse des $\frac{\lambda}{4}$-Plättchen mit
einer Halbachse des elliptisch polarisierten Lichtes zusammen, so
kann das Licht als durch ungleiche Amplitude und einer
Phasendifferenz von $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ erzeugt
interpretiert werden. Das Plättchen bewirkt nun einen weiteren
Phasenverschub um $\frac{\pi}{2}$ und erzeugt so wieder linear
polarisiertes Licht. Die Polarisationsebene nimmt einen Winkel
$\alpha$ mit der optischen Achse des Plättchens ein.

\begin{equation} \label{alphaab}
\alpha = arctan{(\frac{b}{a})}
\end{equation}

Aus Gleichnung \ref{fracab} und \ref{alphaab} folgt:\\

\begin{equation} \label{alpha}
\alpha = \frac{\Delta\varphi}{2}
\end{equation}

bzw.\\

\begin{equation} \label{phiab}
\Delta \varphi = 2 \cdot arctan{(\frac{b}{a})}
\end{equation}

Das Ergebnis beinhaltet die beiden Spezialfälle $\Delta\phi$ = 0
(linear polarisiertes Licht), hier tritt keine Verkippung auf und
$\Delta\phi$ = $\frac{\pi}{2}$ (zirkular polarisiertes Licht) wo
$\alpha = arctan{(1)} = \frac{\pi}{4}$ ist.

\subsection{Elektrooptischer Effekt}

Viele Medien zeigen in einem elektrischen Feld doppelbrechende
Eigenschaften. Je nach Abhängigkeit des doppelbrechenden
Verhaltens von der elektrischen Feldstärke unterscheidet man den
linearen (Pockels-) und quadratischen (Kerr-) Effekt. Von
Interesse ist hier nur der Pockelseffekt.\\
\\

\subsubsection{Pockelseffekt}

Kristalle bei denen der Pockelseffekt auftritt haben auch ohne
anliegen eines elektrischen Feldes doppelbrechende Eigenschaften.
Durch das Feld wird eine zweite optische Achse induziert, die nicht
in Richtung des Teldes liegt und das System extrem verkompliziert.
Das läßt sich vermeiden, indem man eine der beiden Achsen (in der
regel die permanente) parallel zur
Einstrahlrichtung legt. \\
Der Aufbau einer longitudinalen Pockelszelle ist in Abb.
\ref{pzzelle} dargestellt. Das elektrische Feld verläuft parallel
zum Strahl, was eine durchsichtige Ausführung der Elektroden
erfordert. Diese Art ist weit häufiger als der transversale Aufbau
(änlich der Kerrzelle), da durch die geringe Kapazität viel
kürzere Schaltzeiten möglich sind.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=11cm]{pz_zelle_l.ps}
\end{center}
\caption{\label{pzzelle} Aufbau einer Pockelszelle; E Elektroden, U
Spannung, K Kristall (z.B.: KD*P), P Polarisator, A Analysator}
\end{figure}


Die Linearität der Pockelszelle sieht man an folgender Gleichung:

\begin{equation} \label{deltaphi}
\Delta \varphi = \frac{2 \pi}{\lambda_0} \cdot n_0^3 \cdot r_{63}
\cdot U
\end{equation}
\begin{tabbing}
$\Delta \varphi$ \qquad \qquad \= ... Phasenverschiebung der Teilstrahlen\\
$\lambda_0$ \> ... Vakuumwellenlänge des Lichtes\\
$r_{63}$ \> ... von $\lambda_0$ und dem Material abhängige
elektrooptische Konstante\\
$n_o$ \> ... Brechungsindex des ordentlichen Strahles\\
U \> ... angelegte äußere Spannung\\
\end{tabbing}

Durch Einführen der Spannung U (E = $\frac{U}{l}$) fällt die Länge
des Lichtweges heraus. Es läßt sich für jede Zelle eine Spannung
angeben, bei der eine Phasenverschiebung um $\frac{\pi}{2}$
auftritt. Diese Spannung ist die sog. Viertelwellenspannung.

\section{Versuchsdurchführung}
Die Aufgabe war, die Elektrooptische Konstante $r_{63}$ der
Pockelszelle mit verschiedenen Methoden zu messen.


\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{pz_aufb.eps}
\end{center}
\caption{\label{aufbau} Messanordnung.
    L1 Sammellinse f=10cm, LB Lochblende, L2 Sammellinse f=9cm, P1
    Polarisator, F Farbfilter, PZ Pockelszelle, $\lambda /4$ -
    Plätchen, P2 Analysator, L3 Sammellinse f=12cm}
\end{figure}




\subsection{Justierung}

\subsubsection{Polarisatoren}
Der Lichtstrahl der Hg- Hochdrucklampe wurde ungefähr parallel durch
den Polarisator und den Analysator geführt und auf einen Schirm
fokusiert. Dann wird der Analysator solange verdreht, bis ein
Intensitäts- Minimum gefunden ist. Gekreuzte Stellung war gefunden
bei:

\begin{tabbing}
    $\beta_{PL1} = 325°$  \qquad \qquad \= ... Polarisatorwinkel\\
    $\beta_{PL2} = 230.5°$ \> ... Analysatorwinkel
\end{tabbing}

\subsubsection{Bestimmung der Induzierten Hauptachse}
Die Pockelszelle wird mit einem leicht divergentem Licht
durchstrahlt. Am Projektionsschirm enstehen dan konzentrische dunkle
Interferrenz- Kreise, da die Lichtstrahlen den Kristall unter
verschiedenen Winkeln durchqueren und daher einen Gangunterschied
aufweisen. Da der Polarisator und Analysator nach wie vor senkrecht
aufeinander stehen, sollte eigentlich überhaupt nichts zu sehen
sein, aber der Kristall hat auch einen pemanente Optische
Hauptachse. Sie ist ungefähr parallel zum Lichtstrahl ausgerichtet.
Dennoch kann sie das linear polarisierte Licht aufspalten, da es ja
divergent einfällt, so dass es den Analysator passieren kann, und am
Schirm inteferriert. Das Schwarze Kreuz, das ebenfalls am Schirm zu
sehen ist, ensteht wenn das Licht in einem solchen Winkel auf die
permanennte Optische Hauptachse fällt, dass nur ein ordentlicher
oder außerordentlicher Lichtstrahl ensteht. Dieser kann mit sich
selber nicht interferrieren.\\
Die induzierte optische Hauptachse steht ungefähr senkrecht zum
Lichtstrahl. Wenn der Vektor E des linear polarisierte Lichts
parallel oder senkrecht dazu einfällt sollte sich das
Interferrenzbild beim Anlegen einer Spannung an der Pockelszelle
nicht ändern. Um sie zu finden wird der Analysator und der
Polarisator synchron um einen kleinen Winkel weitergedreht und die
Spannung ein- und ausgeschalten. Die optische Hauptachse wurde
gefunden bei:

\begin{tabbing}
    $\beta_{PL1} = 53°$  \qquad \qquad \= ... Polarisatorwinkel\\
    $\beta_{PL2} = 318.5°$ \> ... Analysatorwinkel
\end{tabbing}

\subsubsection{Pockelszelle Feinjustieren}
Das in die Pockelszelle einfallende Licht wird mit der Methode der
Autokollimation parallel eingestellt. Dann wird die Linse L1 und die
Lochblende so eingerichtet, das am Schirm ein kleines weisses Kreuz
in der Mitte des grossen schwarzen Kreuzes zu sehen ist. Die
permanente optische Hauptachse ist dann genau parallel zum
Lichtstrahl und beeinflusst die folgenden Messungen nicht mehr.

\subsubsection{Letzte Einstellungen}
Zum Schluss wird hinter die Pockelszelle eine Irisblende gestellt,
um störende Kristallrefleksionen abzublocken. Der Polarisator wird
um 45° weitergedreht, so das der Lichtvektor E unter 45° auf die
induzierte optische Hauptachse trifft, der ordentliche und der
außerordentliche Lichtstrahl sind dann immer gleich intensiv.

\subsection{Phasenverschiebung abhängig von der Spannung}
Die Lichtintänsität wird hinter dem Analysator mit einer Photodiode
gemessen. Abhängig von der Spannung ändert sich $\Delta \varphi$ und
somit auch die gemessene Intensität. Die Messung wurde mit parallel
und gekreuzt stehenden Analysator, mit den Farbfiltern für grünes
und blaues Licht durchgeführt.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
U / [V] & $I_{grün gekreuzt}$ \\
\hline \hline
0
600 &      131\\
800 &      202\\
1000&      293\\
1200&      393\\
1400&      516\\
1600&      639\\
1800&      762\\
2000&      890\\
2200&      1019\\
2400&      1135\\
2600&      1250\\
2800&      1340\\
3000&      1420\\
3200&      1480\\
3400&      1520\\
3600&      1519\\
3800&      1508\\
4000&      1480\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

600 1472    50
800 1396    50
1000    1303    20
1200    1200    20
1400    1077    20
1600    951 20
1800    820 10
2000    689 10
2200    560 10
2400    438 10
2600    334 10
2800    246 10
3000    157 10
3200    102 10
3400    66  10
3600    53  10
3800    67  10
4000    102 10


 Der Analysator wird




















\end{document}
