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\begin{document}

\begin{titlepage}
\title{\bf {Zählrohr}}
\author{
        Golubkov Andrej\\
        Meierhofer Georg
    }

\date{\vspace{3cm}
Betreuer: Dr. Carlo Callegari\\
Datum: 13.05.2004}

\maketitle
\thispagestyle{empty}
\end{titlepage}

printf
\tableofcontents

\newpage

\section{Grundlagen}
\subsection{Radioaktive Strahlung}
Radioaktive Strahlung entsteht bei Kernumwandlungen von Atomen. Es gibt 3 Arten radioaktiver Strahlung: $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ Strahlung.

\subsection{$\alpha$ Strahlung}
Die Strahlung besteht hier aus Helium Kernen, das $\alpha$ Teilchen ist also aus 2 Protonen und 2 Neutronen zusammengesetzt. Es hat die Ladung von $C=2e$. Die kinetische Energie der Teilchen beträgt 2 - 8 MeV. Da die Ionisierungsenergie der Luft im Mittel 32.5 eV beträgt, können der Größenordnung nach $10^5$ Ionen pro $\alpha$ Teilchen durch Stossionisation erzeugt werden. Danach ist seine Energie aufgebraucht und es wird ein gewöhnlicher Heliumkern.\\
Die Reichweite der $alpha$ Strahlung ist relativ gering. Zwischen der Reichweite R und der Radioaktivitätskostante $\lambda$ ($\lambda = \frac{1}{\tau}$) gibt es einen einfachen Zusammenhang: Das Geiger Nutall Gesetz.
\begin{equation}
    ln(\lambda)=A+B \cdot ln(R)
\end{equation}
Mit konstanten A und B. Es wurde emirisch festgestellt, dass R proportional der kinetischen Energie E ist.
\begin{equation}
    ln(\lambda)=a+b \cdot ln(E)
\end{equation}
Das Energiespektrum der $\alpha$ Strahlung ist diskret. Es kann gleichzeitig $\gamma$ Strahlung auftreten.


\subsection{$\beta$ Strahlung}
Beim $\beta$ Zerfall werden Elektronen oder Positronen sowie Neutrinos emitiert. Die Teilchen werden entsprechend $\beta^-$ und $\beta^+$ genannt. Die Kinetische Energie kann bis zu 16MeV betragen. Bei diesen Energien muss relativistisch gerechnet werden.\\
Folgende Effekte tragen zur Absorption bei:\\
{\bf Elastische Streuung} Die $\beta$ Teilchen können an Atomkernen wie auch an Elektronen gestreut werden. Da der Wirkungqerschnitt  proportional zu $\frac{1}{E^2}$ ist, muss die Streuung besonders bei niedrigen Energien berücksichtigt werden.\\
{\bf Ionisation} Zwischen 10keV und 2MeV ist die spez. Ionisation proportional $\frac{1}{v^2}$.\\
{\bf Röntgen Strahlung} Beim abbremsen der $\beta$ Teilchen durch elektrische Potentiale der Atomkerne entsteht röntgen Strahlung.\\
Insgeasmt gehorcht die Absorption annähernd einer Exponentialfunktion:
\begin{equation}
    N = N_0 \cdot e^{-\mu d}
\end{equation}
Mit der Schichtdicke d, Anzahl der durchgegangenen Teilchen N und der Anzahl der auftrefenden Teilchen $N_0$.\\

\subsubsection{$\beta$ Energiespektren}
Beim $\beta^-$ Prozess wandelt sich im Atomkern ein Neutron in ein Proton um. Beim $\beta^+$ Prozess ein Proton in ein Neutron. Da die Energienievaus der Atomkerne vor un nach dem Prozess bestimte fixe werte haben, sollte auch die $\beta$ Strahlung ein diskretes Energiespektrum mit wenigen Linien haben. Statdessen wird aber ein kontinuirliches Spektrum gemessen. Das liegt daran, dass bei diesen Prozessen auch Neutrinos entstehen. Die freiwerdende Energie wird also auf das Neutrino und $\beta$ Teilchen aufgeteilt. Die Neutrinos können mit dem Zählrohr nicht aufgespürt werden, da sie nicht ionisieren. Die Gesamtenergie kann trotzdem bestimmt werden: sie entspricht der maximalen Energie $E_0$ bei der noch $\beta$ Teilchen gemessen werden. Das ist der Punkt, an dem die $\beta$ Teilchen praktisch die gesammte Übergangsenergie bekommen. Für das Energiespektrum gilt die Formel:


\begin{equation}
    N(p)dp \propto p^2(E_0-E)^2 F(Z,E)dp
\end{equation}
mit der Anzahl der $\beta$ Teilchen $N(p)$ mit dem Impuls zwischen $p$ und $dp$. $E_0$ ist die uns interresierende Übergangsenergie. E ist die gesamtenergie $E=(T+mc^2)$. F ist die Fermi Funktion:
\begin{equation}
    F(Z,W)=\frac{2 \pi \eta}{1-e^{-2 \pi \eta}}
\end{equation}
mit $\eta = \pm \frac{Ze^2}{hv}$, v der $\beta$ Teilchen Geschwindigkeit und Z der Kernladungszahl nach dem $\beta$ Zerfall. \footnote{aus http://personal.tcu.edu/~quarles/PHYS3/Betadecay.htm}  



\subsection{$\gamma$ Strahlung}
$\gamma$ Strahlung ist kurzwellige elektromagnetische Srahlung mit Energien ab 2.5 keV. Sie entsteht wenn ein angeregter Atomkern zum Grundzustand übergeht (häufig nach $\alpha$ und $\beta$ Prozessen). Das Strahlungsspektrum ist dann diskret. Bei Energien < 1MeV erfolgt die übliche photoelektrische absorption und streuung. Ab 1MeV tritt Paarbildung auf. Die Absorption erfolgt wiederum mit
\begin{equation}
    J = J_0 \cdot e^{-\mu d}
\end{equation}
Der Koeffizient $\mu$ ist stark Energieabhängig.

\subsection{Radioaktiver Zerfall}
Beim radioaktiven Zerfall ändert sich die Zahl der Neutronen bzw. Protonen. Der zerfall erfolgt dabei absolut zufällig, lediglich die Halbwertszeit kann bestimmt werden. Für die Anzahl der nicht zerfallenen Atome $N$ gilt
\begin{equation}
    N = N_0 \cdot e^{- \frac{t}{\tau}}
\end{equation}
wobei sich $\tau$ aus der Halbwertszeit $T$ oder der Aktivität $\lambda$ berechnen lässt
\begin{equation}
    \tau = \frac{T}{ln(2)} = \frac{1}{\lambda}
\end{equation}

In der Natur gibt es 4 radioaktive Familien. Sie werden jeweils nach dem schwersten Element benannt. Die für uns wichtige ist die $U-283$ Reihe. 
Wie in Abbildung () gezeigt, gibt es 2 Zerfallsarten. Beim $\alpha$- Zerfall wird die Massenzahl A um 4 kleiner, die Kernladungszahl Z um 2 kleiner. Beim $\beta^-$- Zerfall bleibt die Massenzahl konstant, die Kernladungszahl wird um 1 größer. Die Halbwertzeit des Zerfalls der Isotope schwankt erheblich. Die von U238 beträgt 4.47 milliarden Jahre beim Pa234 ha sie nur 1.18 Minuten. Irgendwann entsteht Ra226, das bei unseren Experimenten als Strahlungsquelle diente. Ra226 hat eine Halbwertszeit von 1622 Jahren, also kann seine Strahlungsintensität bei unseren Experimenten als zeitlich konstant angesehen werden. 

% Ra226 -> Rn222, 		1600a, \alpha 4.871MeV
% Rn222 -> Po218, 		3.824d, \alpha 5.590 MeV
% Po218 -> zu 99.98 \% Pb214 	3.1m	\alpha 6.115 MeV
% 
% Pb214 -> Bi214			26.8m	\beta	1.024MeV
% Bi214 -> 99.98\%  Po214 	19.9m	\beta	3.272
% 
% Po214 ->	Pb210		164.3us \alpha 7.833MeV
% Pb210 -> 	Bi210 		22.3a   \beta  0.064MeV

%Po218 ->	3.10m	-	At218	0.02\%	0.265

\begin{table}[!htp]
	\caption{Nachfolgeprodukte des Ra226 Quelle (http://environmentalchemistry.com)}
	\centering
		\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
			\hline
			Vor Zerfall & Nach Zerfall & Halbwertszeit $T$ & Zerfallsart & Zerfallsenergie \\  
			\hline \hline
			Ra226	&Rn222	&1600a	 & $\alpha$	&4.871MeV\\
			Rn222	&Po218	&3.824d	 & $\alpha$	&5.590MeV\\
			Po218	&Pb214	&3.1m	 & $\alpha$	&6.115MeV\\
			Pb214	&Bi214	&26.8m	 & $\beta$	&1.024MeV\\
			Bi214	&Po214	&19.9m	 & $\beta$	&3.272MeV\\	
			Po214	&Pb210	&164.3$µ$s & $\alpha$ 	&7.833MeV\\
			Pb210	&Bi210 	&22.3a	 & $\beta$  	&0.064MeV\\	
			\hline	
		\end{tabular}
	\label{tab:Nachfolgeprodukte}
\end{table}


\subsection{Zählrohr}
Die sogenannten Geiger Müller Zählrohre dienen der Messung ionisierender Strahlung. Das Zählrohr besteht aus einem mit Edelgas gefüllten Metalrohr mit geringen Druck (ca. 0.1 bar). Das Metalrohr dient als Kathode (minus Pol). Im inneren des Rohres ist ein draht angebracht, er dient als Anode (plus Pol) und ist von der Kathode isoliert. Durch das Fenster an der Frontseite des Rohres kann Strahlung eindringen. Je nach Material kann verschiedene Strahlung durch das Fenster durchgelassen werden. Zum Nachweis der $\beta$ Strahlung wird Glimmer als Material verwendet. Das Zählrohr misst die Strahlung dadurch, dass die Gasatome durch energiereiche Teilchen ionisiert werden und elektrischen Strom zwieschen der Anode und Kathode leiten.

\begin{figure}[!h]
	\centering
		\includegraphics[width=11cm]{gmtube.ps}
	\caption{Zählrohr}
	\label{fig:Zaehlrohr}
\end{figure}

\subsubsection{Funktionsweise}
Ein $\beta$ Teilchen kann bis zu 16MeV an kinetischer Energie besitzen. Die Ionisierungsenergie des Füllgases liegt in der Größenordnung von 30eV. Das bedeutet, dass bei einfallenden Teilchen sehr viele Ion- Elektron Paare erzeugt werden können. Bei angelegter Spannung zwischen Anode und Kathode gibt es in der Röhre ein konzentrisches elektrisches Feld in dem die Ionen und die Elektronen beschleunigt werden. Die Elektronen haben eine viel geringere Masse und reagieren deshalb viel schneller. Während die Elektronen bereits bei der Anode angekommen sind, wandern die schweren Ionen langsam zur Kathode. Sie schirmen das Elektische Feld um den Draht ab, so dass weitere Strahlungs- Teilchen schwer registriert werden können. Erst nach einer Erholungszeit $\tau_{irgendwas}$ hat das Zählrohr die ursprüngliche Empfindlichkeit. $\tau_{irgendwas}$ ist von der angelegten Spannung und vom Aufbau des Zählrohrs ab. Zusätzlich ist das Rohr auch mit Löschgas gefüllt. Es verindert, dass die Ionen Elektronen aus der Kathode herausschlagen, nachdem sie auf hohe Geschwindigkeit beschleunigt wurden.\\


\subsubsection{Betriebsbereiche}
Üblicherweise wird ein Kondensator über eine Vorwiderstand aufgeladen. Dieser Kondensator ist parallel zum Zählrohr geschaltet. Wenn im Zählrohr Ionen entstehen wird es leitend. Es fliest ein Strom durch den Kondesator: das Stromsignal wird mit einem Zähler oder Oszilloskop gemessen. Je nach verwendeter Betriebsspannung werden 3 Arbeitsbereiche unterschieden. Die Spannung kann bis zu 1500V betragen.

\paragraph{Ionisationskammer- Bereich}
Die Spannung ist hoch genung, um die bei der Ionisation entstandenen Elektronen von der Rekombination mit den Ionen zu hindern. Die Anzahl der Ionen ist von der Energie des einfallenden Teilchens abhängig. Somit kann man von der Impulsamplitude auf die Energie der Teilchen schliesen.

\paragraph{Proportional- Bereich}
Ab einer bestimmten Spannung ist die Feldstärke so hoch, dass die Elektronen genug kinetische Energie erreichen um weitere Ionen zu erzeugen. Diese kinetische Energie hängt von der mittleren freien Weglänge und der Feldstärke ab. Ab 30eV können durch Stossionisation weitere Elektronen erzeugt werden. Die Amplitude der gemessenen Impulse ist dann stark von der Spannung abhängig. Gleichzeitig ist die Amplitude proportional zur Ionisationsrate (Anzahl der primär vom Teilchen ionisierten Atome) durch das einfallende Teilchen. In diesem Bereich ist es also wichtig, dass die Spannung einen genauen konstanten Wert hat.

\paragraph{Geiger- Bereich}
Die Spannung kann soweit erhöht werden, dass sich die Ionisation von einem primären Elektron lawinenartig auf das ganze Zählrohr ausweitet. Es ist dann fast das gesamte Gas im Zählrohr ionisiert. Die Impulsamplitude ist dann von der Energie des einfallenden Teilchens unabhängig. Der Geiger- Bereich endet, wenn die Spannung so hoch wird, dass die Gas- Atome auch ohne ein hochenergetisches Teilchen ionisiert werden. Das Zählrohr kann dann beschädigt werden. Die Impulsamplitude ist noch immer von der Spannung abhängig. Die Abhängigkeit beträgt aber oft nur 2\% - 5\% pro 100V.

































\end{document}
