\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{german}

\pagestyle{myheadings}
\pagenumbering{arabic}

\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\textheight}{22cm}
\setlength{\topmargin}{-1cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0,5cm}
\setlength{\parindent}{0cm}
\setlength{\headsep}{1,5cm}


\begin{titlepage}	% Titelseite einrichten
\title{\bf {Zonenplatte}}

\author{
	 Golubkov Andrej\\ Meierhofer Georg\\ \\Betreuer: Dr. Bodil Holst}


\date{\vspace{3cm}	% Datumsfeld einrichten
      \today}

\thispagestyle{empty}	% Die Titelseite soll keine Seitenzahl bekommen...[1]
\end{titlepage}



\begin{document}

\maketitle		% Titelseite erzeugen

\newpage
\setcounter{page}{2}	% [1]... damit die Seitennummern mit der Zahl der Seiten zusammenpasst,
			% beginnt das Inhaltsverzeichnis mit Seitennummer 2


\tableofcontents	% Inhaltsverzeichnis erzeugen

\newpage

\section{Grundlagen}
\subsection{Huygens-Fresnel'sches Prinzip}
Es wird angenommen, dass sich das Licht als kugelförmige Welle ausbreitet. Zu jedem Zeitpunkt entstehen an der ursprünglichen Wellenfront weitere sekundäre spherische Wellen. An ihren Wellenfronten etstehen wiederum weitere Wellen usw. Die Amplitude des Lichtes an einem Punkt P setzt sich aus der Summe der Wellen einer Generation zusammen, wobei deren Amplitude und Phasenverschiebung zu beachten ist. Es dürfen dabei auch nur Wellen zusammengezählt werden, deren Ursprung von P aus gesehen nicht abgeschirmt ist. Die Frequenzen aller dieser Wellen sind gleich.
Dieser Wellencharakter des Lichts wird deutlich, wenn es an Objekten in der Größenordnung seiner Wellenlänge $\lambda$ gestreut wird. Es entstehen dann Beugungsbilder die nicht durch die geometrische Optik erklärt werden können.


\subsection{Fraunhofersche Beugung}
Gilt, wenn der Abstand zwieschen der Beobachtungsebene und dem relativ kleinen beugendem Element (z.B. einer Lochblende) sehr gross ist. Die Abbildung findet dabei praktisch in der Optischen Achse statt. Der Winkel $\theta$ ist sehr klein.

\subsubsection{Fraunhofersche Beugung an einer kreisförmigen Öffnung}
Wenn ebene Wellen auf eine Kreisförmige Öffnung fallen wird ein Beugungsbild an einem weit enfernten Schirm beobachtet: eine kreisförmige Scheibe hoher Intensität (die Airy- Scheibe) die von einem dunklen Ring umgeben ist. Für den Radius $q_1$ der Airy-Scheibe gilt:

\begin{equation}
	q_1 = 1.22\frac{R\lambda}{2a}
\end{equation}

\begin{tabbing}
$q_1$ \qquad \= ... Radius der Airy-Scheibe\\
$R$ \> ... Abstand Lochblende - Abbildungsschirm\\
$\lambda$ \> ... Gegenstandsweite\\
$a$ \> ... Radius des Loches\\
\end{tabbing}

Für $R = 2 \, m$, $a=0.72 \, mm$ und $\lambda=632 \, nm$ ergibt sich\\
$q_1=1.07 \, mm$\\

Für die durchgeführten Versuche war sie nicht weiter von Bedeutung. Für kleine $R $ geht die Fraunhofersche Beugung in Fresnelbeugung über.


\subsection{Fresnelbeugung}
Gilt für das Nahfeld, also dem Bereich, der bis zum beugenden Element hinreicht. Im gegensatz zur Fraunhoferschen Beugung muss hier die 'Gerichtetheit' der Sekundärwellen berücksichtigt werden. Es wird der Schrägheits- oder Neigungsfaktor eingeführt:

\begin{equation}
	K(\theta) = \frac{1}{2} (1+cos(\theta))
\end{equation}

Diese Funktion hat ein Maximum für $\theta=0$ und ein Minimum für $\theta = \pi$. Das bedeutet, dass die rückwärtslaufenden Wellen unterdrückt werden.

\subsubsection{Fresnelzonen}

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{zp1.eps}
\end{center}
\caption{\label{fresnelzonen}Konstruktion der Fresnelzonen.}
\end{figure}

Hier wird die Wellenfront S in eine Reihe Ringförmiger Zonen eingeteilt. Die Grenzen dieser Zonen sind die Schnitte vo S mit einer weiteren Spärischen Wellen s. Der Radius dieser Wellen s ist dabei:

\begin{equation}
	s=b+n\frac{\lambda}{2}
\end{equation}

Das emmitierte Licht zweier benachbarten Zonen ist jeweils um 180° phasenverschoben. Das Licht zweier benachbartet Zonen sollte negativ interferieren und sich auslöschen. Die Lichbeiträge im Punkt P einer Zone sind von der Zonenzahl $n$ unabhängig \footnote{Eugen Hecht, OPTIK, Seite 461}.

Für die Gesamtfeldstärke im Punkt P gilt:
\begin{equation}
	E = \vert E_1 \vert - \vert E_2 \vert + \vert E_3 \vert - ... \pm \vert E_m \vert
\end{equation}
Näherungsweise:

\begin{equation}
	E \approx \left\{
	\begin{array}{ll}
	\frac{E_1}{2}	&	\mbox{m ungerade}\\
	0	&	\mbox{m gerade}\\
	\end{array}
	\right. 
\end{equation}


\subsection{Zonenplatte}

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{zonenplatte.ps}
\end{center}
\caption{\label{zonenplatte}Foto einer Zonenplatte.}
\end{figure}
Bei einer Fresnelschen Zonenplatte wird jede zweite Zonenplatte ausgeblendet. Dadurch wird die Lichtamplitude im Punkt P um ein vielfaches verstärkt. 

\begin{equation}
	E = \vert E_1 \vert + \vert E_4 \vert + \vert E_5 \vert - ... \pm \vert E_m \vert
\end{equation}

\subsubsection{Geometrie der Zonenplatte}
Wie betrachten zwei Lichtwege. Einen direkten S - $A_0$ - P und einen an der Zone m gebrochenen S - $A_m$ - P. Die Differenz dieser Lichtwege ist $m \lambda /2$.
\begin{eqnarray}
	(r_m + \rho_m)-(r_0+\rho_0)=m\frac{\lambda}{2} \label{wege} \\
	r_m = \sqrt{R^2_m+r^2_0}\\
	\rho_m = \sqrt{R^2_m+\rho^2_0}
\end{eqnarray}
Für kleine $R_m$ gilt näherungsweise
\begin{eqnarray}
	\rho_m=\rho_0+\frac{R^2_m}{2\rho_0} \\
	 r_m= r_0+\frac{R^2_m}{2 r_0}
\end{eqnarray}
In (\ref{wege}) eingesetzt ergibt:
\begin{equation}
	\biggl(\frac{1}{\rho_0}+\frac{1}{r_0}\biggr)=\frac{m\lambda}{R^2_m}
\end{equation}
Es gibt eine auffällige ähnlichkeit zur Linsenmachergleichung:
\begin{equation}
	\biggl(\frac{1}{g}+\frac{1}{b}\biggr)=\frac{1}{f}
\end{equation}
Die Zonenplatte funktioniert wie eine Linse, ebene Lichtwellen werden am Punkt P fokusiert. Es gibt auch einen virtuellen Brennpunkt mit divergierendem Bild. Die Primäre Brennweite ist so definiert:
\begin{equation}
	f_1=\frac{R^2_m}{m\lambda}
\end{equation}

Im gegensatz zu einer Linse hat die Zonenplatte mehrere Brennpunkte: $f_1, f_1/3, f_1/7$ usw. Das Intensitätsmaximum liegt bei $f_1/3$

\subsubsection{Zonenplatte mit Phasenumkehr}
Anstatt jede zweite Fresnel- Zone auszulöschen, wird hier eine Phasenverschiebung um $\lambda/2$ erzeugt, indem die Dicke variiert wird


\end{document}